\section{Ejercicio N 7}

Dado el sistema de la Figura:

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{ejercicio07}
    \label{fig:ejercicio07}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 7}
  \end{center}
\end{figure}

Datos:
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{-}
  \item Arribos de clientes al sistema: 10 clientes/minuto
  \item Atención en cada canal: 
    \begin{itemize}
      \item A: 0,2 minutos/clientes
      \item B: 1/3 minutos/clientes
      \item C: 1/2 minutos/clientes
    \end{itemize}
  \item Valor de cada servicio:
    \begin{itemize}
      \item A: 0 \$/cliente
      \item B: 5000 \$/cliente
      \item C: 600 \$/cliente
    \end{itemize}
  \item La población en el sector A es impaciente, según la siguiente ley: 
  
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
  n      & 0 & 1 & 2 & 3  \\
  \hline
  p(n)   & 1 & 0.5 & 0.2 & 0 \\
  \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\end{itemize}

Se pide calcular:
\begin{enumerate}
  \item La cantidad promedio de clientes esperando en cada sector.
  \item El ingreso económico promedio del sistema (\$/minuto).
  \item La cantidad promedio de clientes que no ingresan al sistema por minuto.
  \item La probabilidad de que el sistema esté vacío.
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $L_{c\: A}, L_{c\: B} \: y \: L_{c\: C}$
  \item $Ingreso$
  \item $\overline{R_{A}}$
  \item $P(n=0)$
\end{itemize}


\begin{center}
SUBSISTEMA A
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $ \lambda_{A} = 10\: \,  \frac{cliente}{minuto} $ (distribución Poisson)
  \item $Ts_{A}  =\frac{1}{5} \: \,  \frac{minutos}{cliente} \Rightarrow \mu_{A} = 5 \: \,  \frac{cliente}{minuto}$ 
\end{itemize}


\comandoHipotesisA 

\begin{itemize}

\item Subsistema A

\item Notación Kendall: P/P/1 con impaciencia.

\end{itemize}


\begin{enumerate}
  \item El proceso de arribo de clientes al sistema es de tipo Poisson.
  \item El proceso de servicio es también de tipo Poisson.
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables; es decir, ha alcanzado condiciones de equilibrio de sus variables (régimen permanente).
\item Los clientes que llegan al sistema forman una cola simple.
\item La disciplina de atención es FIFO.
\item Se dispone de un solo canal de atención.
\item La capacidad del sistema es ilimitada (cola infinita).
\item Los clientes que llegan al sistema presentan impaciencia.
\item Una vez ingresados al sistema, los clientes no lo abandonan hasta recibir el servicio en el canal.
\item La población de clientes potenciales del sistema es infinita.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$ & $\mu_{n}$ & $L$ & $L_c$ & $H$ & $R$       \\ \hline
0   & P(0)   & $\lambda_{A}$ & 0     & 0   & 0     & 0   & 0         \\
1   & P(1)   & $0,5*\lambda_{A}$ & $\mu_{A}$ & 1   & 0     & 1   & 0,5*$\lambda_{A}$        \\
2   & P(2)   & $0,2*\lambda_{A}$ & $\mu_{A}$ & 2   & 1     & 1   & 0,8*$\lambda_{A}$         \\
3   & P(3)   & 0         & $\mu_{A}$ & 3   & 2     & 1   & $\lambda_{A}$ \\ \hline
\end{tabular}
\\
\end{center}


Usamos la formula universal para hallar las probabilidades:

\[P(n) = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_{n}}*P(n-1) \]


\[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1\]


\[P(1) = \frac{\lambda_{0}}{\mu_{1}}*P(0) = \frac{\lambda_{A}}{\mu_{A}}*P(0) \]


\[P(2) = \frac{\lambda_{1}}{\mu_{2}}*P(1) = \frac{0,5*\lambda_{A}^2}{\mu_{A}^2}*P(0) \]


\[P(3) = \frac{\lambda_{2}}{\mu_{3}}*P(2) = \frac{0,2*0,5*\lambda_{A}^3}{\mu_{A}^3}*P(0) \]


Combinando las ecuaciones, se obtiene:

\begin{center}
\[ \boxed{P(0) = 0.1724} \]
\[ \boxed{P(1) = 0.3448} \]
\[ \boxed{P(2) = 0.3448} \]
\[ \boxed{P(3) = 0.1379} \]
\end{center}


Luego calculamos usando los datos de la tabla y las probabilidades calculadas:
\begin{itemize}

\item $ \overline{\lambda} = \lambda_{A}*P(0)+0,5*\lambda_{A}*P(1)+0,2*\lambda_{A}*P(2) = \frac{120}{29} \: \,  \frac{cliente}{minuto} = 4,1379 \, \;   \frac{cliente}{minuto}$

\item $ Lc_{A} = P(2)+2*P(3) = \frac{18}{29} = 0,6296 \, \;     (cliente)$ 

\item $ \overline{\mu_{A}} = \overline{\lambda} = \frac{120}{29}  \, \;    \frac{cliente}{minuto}= 4,1379  \: \,  \frac{cliente}{minuto}$ 

\item $ \overline{R_{A}} = \lambda_{A}*(0,5*P(1)+ 0,8*P(2)+P(3)) = \frac{170}{29} \, \;    \frac{cliente}{minuto} = 5,8620 \, \;    \frac{cliente}{minuto}$

\end{itemize}



\begin{center}
SUBSISTEMA B
\end{center}

\comandoHipotesisB 

\begin{itemize}

\item Subsistema B

\item Notación Kendall: P/P/1

\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item El proceso de arribo de clientes al sistema es de tipo Poisson.
\item El proceso de servicio es también de tipo Poisson.
\item El sistema se encuentra en condiciones estables; es decir, ha alcanzado condiciones de equilibrio de sus variables (régimen permanente).
\item Los clientes que llegan al sistema forman una cola simple.
\item La disciplina de atención es FIFO.
\item Se dispone de un solo canal de atención.
\item La capacidad del sistema es ilimitada (cola infinita).
\item Los clientes que llegan al sistema no presentan impaciencia.
\item La población de clientes potenciales del sistema es infinita.
\end{enumerate}


\comandoDatos

\begin{itemize}
\item  Por condiciones del problema:

$ \lambda_{B} = 0,4*\overline{\mu_{A}} = \frac{48}{29} \, \;  \frac{cliente}{minuto} = 1,6552 \, \;  \frac{cliente}{minuto}$

\item $ Ts_{B} = \frac{1}{3} \: \, \frac{minutos}{cliente} \Rightarrow \mu_{B} = 3 \:  \, \frac{cliente}{minutos} $

\item Como es un PP1

$ P(0) = 1 - \rho = 1 - \frac{\lambda_{B}}{\mu_{B}} = 1 - \frac{16}{29} = 0,4482 $


\item Como es un PP1

 $ Lc_{B} = \frac{\lambda_{B}^2}{\mu_{B}*(\mu_{B} -\lambda_{B}) } = \frac{(\frac{48}{29}   \: \,  \frac{cliente}{minuto})^2}{3 \:  \, \frac{cliente}{minutos}*(3 \:  \, \frac{cliente}{minutos} -\frac{48}{29}   \: \,  \frac{cliente}{minuto}) } = 0,6790  \: \,  (cliente) $

\item Como es un PP1

$ \overline{\mu_{B}} = \mu_{B}*\rho = \frac{48}{29} \: \, \frac{cliente}{minuto}$

\end{itemize}


\begin{center}
SUBSISTEMA C
\end{center}

\comandoHipotesisC 

\begin{itemize}

\item Subsistema C

\item Notación Kendall: P/P/1/2

\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item El proceso de arribo de clientes al sistema es de tipo Poisson.
\item El proceso de servicio es también de tipo Poisson.
\item El sistema se encuentra en condiciones estables; es decir, ha alcanzado condiciones de equilibrio de sus variables (régimen permanente).
\item Los clientes que llegan al sistema forman una cola simple.
\item La disciplina de atención es FIFO.
\item Se dispone de un solo canal de atención.
\item La capacidad del sistema es LIMITADA a un valor N (cola finita).
\item Los clientes que llegan al sistema no presentan impaciencia.
\item La población de clientes potenciales del sistema es infinita.
\end{enumerate}


\comandoDatos
\begin{itemize}

\item $ \lambda_{C} = 0,6*\overline{\mu_{A}} = \frac{72}{29}  \: \, \frac{ cliente }{minuto}  $

\item $ Ts_{C} = \frac{1}{2} \: \, \frac{minutos}{cliente} \Rightarrow \mu_{C} = 2 \:  \, \frac{cliente}{minutos} $
\end{itemize}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$ & $\mu_{n}$ & $L$ & $L_c$ & $H$ & $R$       \\ \hline
0   & P(0)   & $\lambda_{C}$ & 0     & 0   & 0     & 0   & 0         \\
1   & P(1)   & $\lambda_{C}$ & $\mu_{C}$ & 1   & 0     & 1   & 0        \\
2   & P(2)   & 0 		  & $\mu_{C}$ & 2   & 1     & 1   & $\lambda_{C}$         \\  \hline
\end{tabular}

\end{center}


Usamos la formula universal para hallar las probabilidades:

\[P(n) = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_{n}}*P(n-1) \]


\[P(0)+P(1)+P(2) = 1\]


\[P(1) = \frac{\lambda_{0}}{\mu_{1}}*P(0) = \frac{\lambda_{C}}{\mu_{C}}*P(0) \]


\[P(2) = \frac{\lambda_{1}}{\mu_{2}}*P(1) = \frac{\lambda_{C}^2}{\mu_{C}^2}*P(0) \]

Despejando P(0) y luego calculando las otras probabilidades obtenemos:

\begin{center}
\[ \boxed{P(0) = 0.2646} \]
\[ \boxed{P(1) = 0.3281} \]
\[ \boxed{P(2) = 0.4074} \]
\end{center}

A partir de los datos de la tabla y las probabilidades previamente calculadas:
\begin{itemize}
  \item $ Lc_{C} = P(2) = 0.4074 \: \, (cliente)$
  \item $\overline{\mu_{C}} = \mu_{C}*((P(1)+P(2)) = 1,4712 \: \, \frac{cliente}{minuto}$
\end{itemize}



\comandoResolucion

\begin{enumerate}[a)]

\item 
La cantidad promedio de clientes esperando en cada sector a partir de los cálculos realizados anteriormente es:

\[ \boxed{Lc_{A} = 0,6206 \, \; (cliente)} \]
\[ \boxed{Lc_{B} = 0,6790 \, \; (cliente)} \]
\[ \boxed{Lc_{C} = 0,4074 \, \; (cliente)} \]

\item 
 El ingreso económico promedio del sistema (\$ /minuto) sería:

\[ INGRESO = 5000 \: \, \frac{ \$ }{minuto} * \overline{\mu_{B}} + 600\: \, \frac{ \$ }{minuto} * \overline{\mu_{C}} = 9158,60 \: \, \frac{ \$ }{minuto} \]

\item
La cantidad promedio de clientes que no ingresan al sistema por minuto son aquellos que no llegan a ingresar al sector A. Valor calculado previamente más arriba.

\[ \overline{R_{A}} = 5,8620 \; \, \frac{cliente}{hora} \]

\item
 La probabilidad de que el sistema esté vacío es igual a la probabilidad de que no haya clientes ni en el sector A ni en el sector B ni en el sector C, por lo tanto:
 
\[ P(0) = P_{A}(0)*P_{B}(0)*P_{C}(0) = 0,0201 \]

\end{enumerate}
